curiousgeorgiy / compactdifferencingschemefortransportequation

построена компактная разностная схема 4-го порядка, обеспечивающая высокую точность вычислений при относительно небольшом числе арифметических операций

Компактная разностная схема для уравнения переноса

Г.К. Лебедев Лицей «Вторая школа»,

научный руководитель В.А. Гордин НИУ ВШЭ & Гидрометцентр РФ

Цель и задачи работы

Целью настоящей работы было построить для линейного дифференциального уравнения переноса с постоянной скоростью компактную разностную схему 4-го порядка, обеспечивающую высокую точность вычислений при относительно небольшом числе арифметических операций.

В частности, ставились следующие задачи:

• подобрать коэффициенты схемы
• исследовать зависимость полученных коэффциентов от параметра Куранта
• исследовать устойчивость схемы
• исследовать разрешимость СЛАУ, возникающей при аппроксимации
• провести с построенной схемой численные эксперименты и исследовать её порядок точности при различных значениях параметра Куранта
• сравнить полученные результаты с классической схемой Кранка-Николсона

Реализация

Работа носила исключительно исследовательский характер и никаких требований к производительности не предъявлялось, поэтому исследование выполнялось в среде MATLAB. Такой выбор был обусловлен прежде всего необходимостью символьных вычислений при подборе коэффциентов — MATLAB обладает хорошим пакетом для их проведения. Также MATLAB обладает удобными встроенными средствами отладки и визуализации данных, в частности, матриц.

Для экспорта рисунков в высоком разрешении был использован сторонний пакет export_fig.

Результаты

Основные скрипты для воспроизведения экспериментов и результатов находятся в source/plots.

Работа защищена на ежегодной межвузовской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов имени Е.В.Арменского в секции «Проекты школьников по физико-математическим и техническим направлениям».

Список литературы

1. P.H. Cowell, A.C.D.Crommelin. Investigation of the motion of Halley’s comet from 1759 to 1910. Appendix to Greenwich Observations for 1909, Edinburgh (1910) pp. 1 - 84.

2. Э.Хайрер, С.Нёрсетт, Г.Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. - М.: «Мир», 1990.

3. B.V.Noumerov, A Method of Extrapolation of Perturbations, Monthly Notices Royal Astronomical Society 84 (1924) pp 592-601.

4. V.A. Gordin, E.A.Tsymbalov. Compact difference schemes for the diffusion and Schrodinger equations. Approximation, stability, convergence, effectiveness, monotony // Journal of Computational Mathematics, Vol. 32, No.3, 2014, pp. 348-370.

5. А.А.Самарский. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука», 1971.

Работа поддержана грантом № 20-04-021 в рамках Программы «Научный фонд Национального исследовательского университета „Высшая школа экономики“ (НИУ ВШЭ)» в 2019 - 2020 гг. и в рамках государственной поддержки ведущих университетов Российской Федерации «5-100».