iehality / lean4-logic

Lean4 Logic Formalization

Foundation

Formalized basic results about formal logic in Lean 4.

Documents

• Book: Summary of results.
• Full Documentation: Generated documentation by doc-gen4.

Main Results

• Classical Propositional Logic
• First-Order Logic: First-Order Logic and Arithmetic.
  • Gödel's First Incompleteness
• Superintuitionistic Logic: Intuitionistic propositional logic and some variants.
• Standard Modal Logic: Propositional logic extended modal operators $\Box$ and $\Diamond$.

lean4-logic's Issues

Finite property for normal modal logic by filteration

doc-genが失敗する

キャッシュの問題だと思うが、よくわからない

Other Definitions of Formalized Consistency

一般に「理論 $T$ の無矛盾性」を表す文 $\mathrm{Con}_T$ は $\mathrm{Con}_T \equiv \lnot \mathrm{Pr}_T(\ulcorner \bot \urcorner)$ として定義して，この定義の元で第2不完全性定理を証明するのが普通であり，DerivableConditions.leanでもそのようにしている．しかし無矛盾性を表現する文，およびそれを成り立たせるための導出可能性条件は他にもいくつかある．前述の無矛盾性はLöbに帰する（らしい）ので $\mathrm{Con}_T^\mathrm{L}$ とする．他の例は

• Hilbert-Bernaysの無矛盾性 $\mathrm{Con}^\mathrm{HB}_T \equiv \forall x. \lbrack \mathrm{Fml}(x) \land \mathrm{Pr}_T(x) \to \lnot \mathrm{Pr}_T(\dot{\lnot}(x)) \rbrack$

  • 「 任意の論理式 $\varphi$ に対して $T \vdash \varphi$ なら $T \nvdash \lnot \varphi$ 」の形式化

• Gödelの無矛盾性 $\mathrm{Con}^\mathrm{G}_T \equiv \exists x. \lbrack \mathrm{Fml}(x) \land \lnot \mathrm{Pr}_T(x) \rbrack$

  • 「 $T \nvdash \varphi$ な論理式 $\varphi$ が存在する」の形式化

• 証明不能な $\Sigma_1$ 文の存在 $\mathrm{Con}^{\Sigma_1}_T \equiv \exists x. \lbrack \mathrm{\Sigma_1 Fml}(x) \land \mathrm{Sent}(x) \land \lnot \mathrm{Pr}_T(x) \rbrack$

ここで $\dot{\lnot}(x))$ は否定を付けた論理式のGödel数 $\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lnot \varphi \urcorner$ を計算する関数とし， $\mathrm{Fml}(x)$ は $x$ が何らかの論理式 $\varphi$ のGödel数であることを表現する述語とする． $\mathrm{\Sigma_1 Fml}(x)$ や $\mathrm{Sent}(x)$ も同様．

$\mathrm{Con}^{\Sigma_1}_T$ は $\Sigma_1$ 論理式という概念に触れるのでおそらく算術に直接関わりを持たざるを得ないが，
$\mathrm{Con}^\mathrm{HB}_T$ や $\mathrm{Con}^\mathrm{G}_T$ の範囲なら DerivabileConditions.lean のように型クラスなどで抽象的に扱えないだろうか？
自分は $\mathrm{Fml}(x)$ などの定義や $\dot{\lnot}(x))$ の定義などをどうすればよいかはあまり見当がついておらず，表現能力がどこまであるのかよくわかっていないので，実際には普通に Arithmetizationの範疇かもしれない．

Built-in modal duality is not necessary

現状，LogicSymbol上の要請として◇p = □~□pという同値を導入しているが，直観主義様相論理やKより弱い論理では成立しないものもあるため，これは問題になりうる．そのため公理としてこれを保証する：すなわち𝓢 ⊢ ◇p ⟷ □~□p：こともある．

ただしここまでやる必要性があるかは怪しい．

Boxdot Conjecture

Formalization (Propositional) Modal Logic

• Kripke Semantics
• Hilbert-style Calculus
• Sequent Calculus
• Soundness
• Completeness

様相論理のシーケント計算をTait流で実装している例や文献はほとんど無い気がする．Gentzen流で素朴に実装しても，例えばS5ではカット除去できないことが分かっているので，拡張されたシーケント計算体系を考える必要があると思う．

Abstract charactorization of deduction system

Currently, there is two different characterization of deduction system, LO.System and LO.Deduction, but they are redundant and should be unified.

Unspecifying modal operator in modal axioms

認識論理のように複数（可算無限個）の様相演算子を持つ体系や証明可能性述語などのことを考えると、特定のboxおよびdiaではなく、System上の1項様相演算子が公理Kや公理4の性質を満たす、と定義したほうが汎用的な気がする。

例えば認識論理では[∀ i, Axiom.K (boxes i)]のようにしたり、現在のDerivabilityConditionで行われているD1,D2,D3上の実質的な様相論理の計算を使いまわせたりする気がする。

Fix cache strategy on GitHub Actions

妙に時間がかかっているのでチェックしたところ，leanのバージョンが上がってcacheの位置が変わっており，上手くキャッシュ出来ていない気がする．

Cache not working

リポジトリ移管以降、キャッシュがうまく効いていない気がする．

https://github.com/FormalizedFormalLogic/Foundation/actions/runs/10236132937/job/28317834390

Gödel-McKinsey-Tarski Theorem

Modal Companion for S4 and Intuitionistic Propositional Logic, a.k.a. Gödel-McKensey-Tarski Theorem

$$\Gamma \vDash_\mathrm{Int} \varphi \iff \tau(\Gamma) \vDash_{\mathbb{F}(\mathrm{S4})} \tau(\varphi)$$

after #17

Disjunctive Property of Theory and Gödel IT1

やや自明な系だが，第1不完全性定理と理論についてのDPで以下のものがあったことを思い出したので．DPはSuperintuitionisticの部分にクラスとして置いてあるので，これをSystemに移管する．

https://scrapbox.io/sno2wman/%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E9%81%B8%E8%A8%80%E7%89%B9%E6%80%A7%E3%81%A8%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7

Refactoring hilbert style deductions

場当たり的に命名をおこなったものがいくつかあるうえに重複がありそうなのでルールを定めて適当にリファクタリングしたい．

Refactoring about modal axioms

Originally posted by @SnO2WMaN in #34 (comment)

Automatic `lake update`

ローカル環境で更新を試すとそれなりに重く時間のかかる作業になってしまうため，定期的にまたは手動でlake updateをCI上で行い，ビルドが成功するならPRを自動で立てるようなActionがあっても良いかもしれない．

Update to v4.9.0

https://github.com/leanprover/lean4/releases/tag/v4.9.0

Frame class definability of GL

Löb axiom $\mathbf{L} \equiv \Box(\Box \varphi \to \varphi) \to \Box \varphi$ defines transitive and well-founded frame class.

Improve Deduction automaton

aesopを使って簡単な自動化を入れているが，遅いし上手く行かないことも多く不便

Strict Implication for Intuitional Modal Logic

For some reasons, it's better to adopt Strict Implication (⥽) than Box (□) for consideration intuitionistic modal logic.

cf:

• https://arxiv.org/abs/1708.02143

Intuitionistic Propositional Logic by Kripke Semantics

Write documents for modal logic

Originally posted by @SnO2WMaN in #34 (comment)

Remove Javascript on lang statistics

hightlight.jsを.gitattributeで無効にしているはずだが上手く出来てない．気になるので直す．

definition of (first-order / propositional) formulas

(first-order / propositional) formulae are defined as Tait-style formula, and it is inconsistent with minimal logic, intuitionistic logic, etc. Perhaps we should modify the definition to that of an ordinary formulae, whose connectives are $\land$, $\lor$, $\to$, $\bot$, $∀$, and $\exists$.

Definability of `.𝟑`

.𝟑 is not Geach axiom and its definability is functional.