- 积分 和 导数
- 导数, 变化率, 切线斜率
- 推导导数公式
- 导数几何意义
- 导数运算: 相加、相乘、链式、指数函数
- 隐函数求导
- 极限, 伯努利法则
- 积分, 积分下线, 积分和导数
- 连续函数(或 曲线)的平均值
- 高阶导数
- 泰勒级数, 收敛, 发散
微分:
- f'(x)导数, dx 理解为厚度, dy为当前微小变化 或 面积
导数:
- 变化率
积分: 微分加和
[2020] mathematics / calculus / integral / derivatives ...
Home Page: https://github.com/Linjiayu6/Calculus-Notes/issues
微分:
导数:
积分: 微分加和
limit极限
Goal:
- formal definition of derivatives 导数的正式定义
- definition of limits 极限的定义
- 伯努利法则: 当某一个点, 是极限值(即 0/0) 无值状态, 用什么方法得出该点的近似导数呢?
你可能觉得这两个例子没啥意义, 但是你只要知道了逼近是什么, 就知道了极限的定义
#2.1例子当极限值存在, 将函数取值范围收缩时, 肯定能找到一个确定值;但是, #2.2例子当极限值不存在, 将函数取值范围收缩时, 肯定找不到一个确定值
对于一个函数例如y = 1/(x-1), 当x=1, 但无法得到对应的y值(1/0), 那又是怎么找到逼近 x=1 的极限结果呢?
上述结论是: 伯努利法则
某点计算 0/0的极限值, 需要用[伯努利法则] 来推导新的导数公式
Fundamental theorem of calculus 微积分基本定理
integral 积分
derivative 导数
从一个圆了解概念
为什么圆的面积是 pie * 半径的平方?
将圆切成N个环, 拉出来看是个梯形 暂时看做是矩形吧。
面积是 = 长度 * dr(宽度/厚度)
这个求解的是: 面积增量, 不是斜率的增量, 我们想知道的是[积分]
积分: 在每个dx划分区域里的面积的加和
公式:
不同于, 我们前面学到的, 可以用绘图求解.
该公式不存在 y = f(x)的关系, 所以也不存在取值的微小变化, 会造成函数值的微小变化.
另外, x和y的值也不唯一. x=-3 或 3, y=-4 或 4
只是个等式定式, 相互联系在一起。不是一个函数(y = f(x))。这种叫做隐形数曲线 implicit curve
疑问不是一个函数的话, 怎么求导?
在说明implicit differentiation之前, 先了解一下 related rates的问题。
针对S求导为 dS = 2x dx + 2y dy
相当于, 无论x y 怎么变化, 对S都不会变化的. dS = 0
我们都知道
那 y = ln(x) 的导数为?
指数函数 exponentials
指数关系
$2^x$ $3^x$ 求导
e: 常数
$e^x$ 的导数?
M(t) = 2的t次幂
从t=3到t=4: 增加了8个 = 2的3次幂
从t=4到t=5: 增加了16个 = 2的4次幂
这个思路是对的, 但也不全对
为什么这么说呢? 是因为, 我们定义的dt = 1, 一整天的数据. 我们考虑的是dt是极小的值
通过推导: 最后得到 右侧最后一个图内容
这个常量是什么?
表格: 虽然我们已知该增量模式, 但是是在t=1的情况下, 我们需要dt, 越来越小的情况, 求增率
常数项是三倍的关系
导数= a的t次幂 * 某常数(some constant)
导数
直接为自己
; 又或者是和自己成比例
* e非常独特, f(t) = e的t次幂, 导数还是e的t次幂; 即: f(t)的斜率, 都是它自己
推导公式I
推导公式II
tips: 非常重要 rule
最后推导的过程 !!!
Link: detrivatives of more complicated combinations 复杂的组合求导方式
复合运算: 函数相加; 函数相乘; 函数嵌套函数
sum? product? composition?
加法法则(相加), 乘积法则(面积), 链式法则(从外到里)
探求为什么导数相加 是每个函数的导数求解再相加?
相乘太复杂, 无法用视图(如相加方式)表示.
用面积的方式去解决问题
公式推导
从外到里一步步解决, 为什么是从外到里, 需要你去探索
integrals 积分
积分: 求导的逆运算
integrals: the inverse of derivatives = antiderivative
积分下限: the lower bound of integral
积分: 所有小量都'积累'在一起 (integrate them)
微积分基本定理
****** 理解为什么导数函数f(x)区间曲线面积 = 原函数F(x)区间高度只差
开车: 你只能看你的车速表, 不能看外面的景色。
车开了, 加速=>减速=>停下来 共8s。
问题: 有没有什么好办法? 你只看车速表就知道行驶距离?
未知函数y(x), 但已知dy/dx 该未知函数的导数, 用derivative 反推 y(x)
该图像下的矩形的面积
现实情况下, 不存在已知匀速状态, 那如果是一段段匀速呢?, 就是1-2s, 匀速5m/s, 2-3s, 匀速7m/s, 固定速度不连续的蹦几个台阶。
引出积分概念
积分: 所有小量都'积累'在一起 (integrate them)
在上面#1讲到汽车🚗 速度, 求解路径问题。不过是找v(t)曲线下面积的问题而已。
但是你要知道, 在图像上, 如何计算图形下方的面积,是解决问题的常见的工具。
导数为:
反导数 = 原函数 为:
【但是】
这个几个函数的导数 都是$8t - t ^ 2$
疑问常数的导数永远都是0
所以实际上, 该导数有无数个原函数
怎么办?,请看## 2.3 继续
积分下线: the lower bound of the integral
积分: 这些小矩形的和的极限, 把他们所有值都累积起来(integrate them)
对于原函数来说: 你只需要关注积分的[上限][下限]
如果你只有车上的仪表盘, 知道8s后从开启到停下, 但如何知道车走了多远?
假设: 你的车是匀速行驶 v(t) = 4m/s. s(t) = 4 * 8 = 32m
假设: 你的车是阶段性匀速行驶, 例如#1.3.2所描述的(0-1s, 匀速4m/s, 1-2s,匀速6m/s, 2-3s, 匀速7m/s ...)。s(t) = 每一段距离的加和
如果你将t = 1s分割再减少, t = 0.01s, 的时候, 每个分割都是匀速; 或dt limit-> 0, 每个分割都是匀速。如此就更接近真实的值。
整个过程就是
所以对于v(t)来说, 曲线下的面积就是车车行驶的距离。
因为v(t)是S(t)的导数/斜率, 对于某段[0-8s]行驶的距离计算, 对于S(t)来说就是S(8) - S(0)间的高度只差
对于每个dt分割来说, 你能推导出来:
(1) 将导数 反推至 原函数
(2) 可能存在无数个原函数?
例如: ## 2.2 解题, 有一个问题? 描述的
(3) 积分下限解决(2)问题
最后啰嗦一句, 负面积的问题
x轴下面是负面积, 对于该例子来说, 车先往前走 => 后来又倒退了回去 => 后又往前走。
如果你想知道: 车从启动到停止走过的距离, 就需要将-(负值)计算到里面。
泰勒级数 Taylor series
泰勒级数是数学中 极其强大的函数近似工具
泰勒级数的几何意义?
泰勒级数: 理解是什么? 用了它能干啥? 好处是啥? 如何用多项式去模拟?
converges 收敛 和 diverges 发散
思考, 是什么多项式能让cos(x) 和 该多项式近似它呢?
如何找到多项式能让图像和cos(x) 差不多重合?
(1) 数值相同: 固定某点 c0
(2) 导数相同: 让斜率在该点相同 c1
(3) 二阶导数相同: 弯曲程度相似 c2
值c0相同,变化率c1相同,变化率的变化率c2相同
如果是 2阶的导数, 是
如果是 3阶的导数, 是
多项式
: n阶导数的话, 就是
原函数n阶导数为 X
:
当x=0时候, n阶导数值 / 除以 n!
多项式, 每一项解读是:
f(0) 让值相同
df/dx(0) 让斜率相同
d^2f/dx^2(0) 让斜率的变化率相同
...
如果想接近0点之外的值, 例如a点, 就用x-a来改写多项式
因为$e^x$ 无论多少阶, 导数都是$e^x$, 当x=0, 值都是1
一定要自己拿笔过一遍
这就是泰勒公式的几何意义
面积和斜率间有什么联系
常见问题: 求一个连续函数的平均值 Finding average of a continuous variable 或者你理解成: 求一个曲线的平均值?
概率
常出现
导数、逆导数、积分、斜率
平均数: 所有数据之和 / 个数
[你可能想到的方法是]
将所有值都加起来 / 值得个数 = 平均高度
这个图非常的关键:
图像下面积 和 一个函数的斜率有关?
求平均值 = 原函数(-cos(x)) 在区间取值的变化 / 区间的长度
导数sin(x) 是 原函数-cos(x) 在每个点上的斜率表示
所以 sin(x)的平均值 = 是原函数从x到pi所有切线斜率的平均值
那在该区间内的所有切线平均斜率 = 起点和终点连线的斜率
在一段连续曲线上, 求平均数?
非常重要: [a,b]区间内, 导数函数f(x)的积分(曲线下面积) = 原函数F(x)高度差, 去看上面推导 求解曲线平均值的方法
非常重要: 导数函数f(x), 是F(x)的导数表达式, 曲线平均值 = 也就是原函数导数/斜率的平均值
f(x) 是原函数F(x) 在每一个点切线的斜率表示。 f(x) 是 F(x)的导数
1,5,4,2 求这4个数的平均值
问题: 连续变量, 也就是无穷个数量的话,如何求解平均值?
解决: 转换为求解另一个函数各点切线的平均斜率。只需要考虑, 起点和终点的值, 不需要考虑中间任何一点
概率
中出现的多Derivative formulas through geometry
通过几何, 推导导数公式
导数的本质
要理解过程是怎么来的
微小变化量才是 导数本质
换个思路想问题 !!!
推导过程: 你细品
考虑dx增加了多少, 对应结果dy减少/增加了多少
x * 1/x = 1, 当dx增加, 对应dy = d(1/x) 减少
dx增加的量, 对应 dy减少或增加的量
根号x * 根号x = x, 关系为 d根号x 增加, 结果增加dx
dx的变化, 会改变 dy=f(x)如何的变化, 从这里找dx 和 dy 的关系
导数: F(x) 某个x值对应的切线斜率:
你肯定知道, 斜率向上, 是positive相关, 否则是negative。或是斜率越陡, 该值越大。
二阶导数(The second derivative) :
二阶导数: 导数的导数, 表示的是斜率的变化 (Change to slope)
导数 derivatives
导数: 变化率的最佳近似
导数: 函数图上, 过某一点的切线
花点时间思考: 速度是什么? 速度变化, 距离也变化?
导数: 函数图上过某一点切线的斜率
红框里面的是重点
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