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[2020] mathematics / calculus / integral / derivatives ...

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calculus-notes's Issues

[Chapter 1] Fundamental theorem of calculus

Fundamental theorem of calculus 微积分基本定理
integral 积分
derivative 导数

1. 例子1

从一个圆了解概念

1.1 思考I

为什么圆的面积是 pie * 半径的平方?
将圆切成N个环, 拉出来看是个梯形 暂时看做是矩形吧。

1.2 思考II - 厚度

面积是 = 长度 * dr(宽度/厚度)

1.3 思考III - 证明

例子中 R = 3, 换成R的话

$$Area = \pi R^2$$

1.4 在x平方下的积分

这个求解的是: 面积增量, 不是斜率的增量, 我们想知道的是[积分]

积分: 在每个dx划分区域里的面积的加和

[Chapter 7] Limit / Bernoulli's theorem

limit极限
Goal:

1. formal definition of derivatives 导数的正式定义
2. definition of limits 极限的定义
3. 伯努利法则: 当某一个点, 是极限值(即 0/0) 无值状态, 用什么方法得出该点的近似导数呢?

1. formal definition of derivatives

跟我们之前学的都一样, 只不过是个正式的(书本上的)写法

2. definition of limits

2.1 极限值存在例子

• 极限: 当变量逼近于0的时候的影响
• 理解: 一个变量逼近另外一个变量的含义
• 我们对 f(x) = $x^3$ 进行求导, 见图中的公式
• 如果h逼近0, 意味着导数为 0/0 = undefined, 该点我们用空心圈画出来
• 但是你在图上可以看到这个点是12, 从该线逼近 approach到h=0这个点。

2.2 反例

• 上面一个例子是, 当极小时候, 是可以逼近一个值。
• 该例子是: 当收缩到某个值得时候, 无法找到一个相同的值。

2.3 总结

你可能觉得这两个例子没啥意义, 但是你只要知道了逼近是什么, 就知道了极限的定义

#2.1例子当极限值存在, 将函数取值范围收缩时, 肯定能找到一个确定值；但是, #2.2例子当极限值不存在, 将函数取值范围收缩时, 肯定找不到一个确定值

2.4 例子

2.4.1 怎么办?

对于一个函数例如y = 1/(x-1), 当x=1, 但无法得到对应的y值(1/0), 那又是怎么找到逼近 x=1 的极限结果呢?

2.4.2 这么办!

2.4.3 总结

3. 伯努利法则

上述结论是: 伯努利法则

某点计算 0/0的极限值, 需要用[伯努利法则] 来推导新的导数公式

[Chapter 4] derivatives of more complicated combinations

Link: detrivatives of more complicated combinations 复杂的组合求导方式
复合运算: 函数相加; 函数相乘; 函数嵌套函数
sum? product? composition?
加法法则(相加), 乘积法则(面积), 链式法则(从外到里)

1. 加法法则: sum rule

探求为什么导数相加 是每个函数的导数求解再相加?

2. 乘积法则: product rule

相乘太复杂, 无法用视图(如相加方式)表示.

2.1 用面积的方式去解决问题

2.2 公式推导

2.3 例子(自己算一下)

2.3.1 例子I

2.3.2 例子II

3. 链式法则: chain rule(复合: composition)

从外到里一步步解决, 为什么是从外到里, 需要你去探索

4. 多练习, 基本都告诉你了, 就差你的练习

[Chapter 11] taylor series

泰勒级数 Taylor series
泰勒级数是数学中 极其强大的函数近似工具
泰勒级数的几何意义?
泰勒级数: 理解是什么? 用了它能干啥? 好处是啥? 如何用多项式去模拟?
converges 收敛 和 diverges 发散

1. approximation 近似

• 一个函数 可以用一个函数(多项式方式) 模拟, 靠近, 近似。
• 好处是: 这个多项式, 好计算, 好求导, 好积分。

2. 例子 cos(x)

思考, 是什么多项式能让cos(x) 和 该多项式近似它呢?

2.1 如何找到这个多项式呢?

如何找到多项式能让图像和cos(x) 差不多重合?

多项式: $P(x) = c0 + c1x + c2x^2$

(1) 数值相同: 固定某点 c0

(2) 导数相同: 让斜率在该点相同 c1

(3) 二阶导数相同: 弯曲程度相似 c2

值c0相同，变化率c1相同，变化率的变化率c2相同

2.2 接下来

当然你用三阶求导数, 继续往下面模拟...

2.3 总结

2.3.1 阶数 和 多项式常量

如果是 2阶的导数, 是 $c2x^2$ 导数为 $c2 * 2 * 1$
如果是 3阶的导数, 是 $c3x^3$ 导数为 $c3 * 3 * 2 * 1$
多项式: n阶导数的话, 就是 $n! * cn$
原函数n阶导数为 X: $X = n! * cn$
$cn = X / n!$

2.3.2 不同阶间不互相干扰

取值x=0的时候,其他高阶项有值得话, 是0掉了

2.3.3 如果想换个坐标原点

3. 泰勒多项式 taylor polynomial

3.1 泰勒多项式

当x=0时候, n阶导数值 / 除以 n!
多项式, 每一项解读是:
f(0) 让值相同
df/dx(0) 让斜率相同
d^2f/dx^2(0) 让斜率的变化率相同
...

如果想接近0点之外的值, 例如a点, 就用x-a来改写多项式

3.2 $e^x$ 例子

因为$e^x$ 无论多少阶, 导数都是$e^x$, 当x=0, 值都是1
$e^x$的泰勒多项式就是:

4. geometric view 几何意义 ！！！

一定要自己拿笔过一遍

这就是泰勒公式的几何意义

5. converges 收敛 和 diverges 发散

5.1 第二个例子 - diverges发散求解

$f(x) = ln(x)$
只能在(0, 2] 区间内求解, x > 2 后面无论如何都无法收敛, 所以叫发散

[Chapter 8] integrals

integrals 积分
积分: 求导的逆运算
integrals: the inverse of derivatives = antiderivative
积分下限: the lower bound of integral
积分: 所有小量都'积累'在一起 (integrate them)
微积分基本定理
****** 理解为什么 导数函数f(x)区间曲线面积 = 原函数F(x)区间高度只差

1. antiderivative

1.1 例子

开车: 你只能看你的车速表, 不能看外面的景色。
车开了, 加速=>减速=>停下来 共8s。
问题: 有没有什么好办法? 你只看车速表就知道行驶距离?

1.2 antiderivative

未知函数y(x), 但已知dy/dx 该未知函数的导数, 用derivative 反推 y(x)

1.3 思考

1.3.1 匀速?

• 如果是辆匀速行驶的车, 非常的好理解了。行驶的距离 = 速度(匀速) * 时间
• 正好也是该图像下的矩形的面积

1.3.2 一段段匀速呢?

现实情况下, 不存在已知匀速状态, 那如果是一段段匀速呢?, 就是1-2s, 匀速5m/s, 2-3s, 匀速7m/s, 固定速度不连续的蹦几个台阶。

• 把每一段都看做是近似于真实的值, 分割的所有长方形都加和。
• 当你分的dt, 越小时候, 值约趋向于精确。

1.3.3 非常重要

引出积分概念

2. integral

积分: 所有小量都'积累'在一起 (integrate them)

在上面#1讲到汽车🚗 速度, 求解路径问题。不过是找v(t)曲线下面积的问题而已。

但是你要知道, 在图像上, 如何计算图形下方的面积，是解决问题的常见的工具。

2.1 接着说🚘事儿

2.2 解题, 有一个问题?

导数为: $8t - t ^ 2$
反导数 = 原函数 为: $4t^2 - (1/3)t^3$

【但是】
$4t^2 - (1/3)t^3$
$4t^2 - (1/3)t^3 + 2$
$4t^2 - (1/3)t^3 + 200$

这个几个函数的导数 都是$8t - t ^ 2$
疑问常数的导数永远都是0

所以实际上, 该导数有无数个原函数

怎么办?，请看## 2.3 继续

2.3 如何解决#2.2问题?

积分下线: the lower bound of the integral

3. 微积分基本定理

积分: 这些小矩形的和的极限, 把他们所有值都累积起来(integrate them)

对于原函数来说: 你只需要关注积分的[上限][下限]

4. recap

1. 如果你只有车上的仪表盘, 知道8s后从开启到停下, 但如何知道车走了多远?

2. 假设: 你的车是匀速行驶 v(t) = 4m/s. s(t) = 4 * 8 = 32m

3. 假设: 你的车是阶段性匀速行驶, 例如#1.3.2所描述的(0-1s, 匀速4m/s, 1-2s,匀速6m/s, 2-3s, 匀速7m/s ...)。s(t) = 每一段距离的加和

4. 如果你将t = 1s分割再减少, t = 0.01s, 的时候, 每个分割都是匀速; 或dt limit-> 0, 每个分割都是匀速。如此就更接近真实的值。

5. 整个过程就是 $v(dt) * dt$ 之和.
   所以对于v(t)来说, 曲线下的面积就是车车行驶的距离。

6. $dS(dt) / dt = v(dt)$ 因为v(t)是S(t)的导数/斜率, 对于某段[0-8s]行驶的距离计算, 对于S(t)来说就是S(8) - S(0)间的高度只差

对于每个dt分割来说, 你能推导出来:
$ds / dT = v(T)$

(1) 将导数 反推至 原函数

(2) 可能存在无数个原函数?

例如: ## 2.2 解题, 有一个问题? 描述的

(3) 积分下限解决(2)问题

5. negative area (signed area有符号面积)

最后啰嗦一句, 负面积的问题

x轴下面是负面积, 对于该例子来说, 车先往前走 => 后来又倒退了回去 => 后又往前走。

如果你想知道: 车从启动到停止走过的距离, 就需要将-(负值)计算到里面。

[Chapter 3] Derivative formulas through geometry

Derivative formulas through geometry
通过几何, 推导导数公式
导数的本质
要理解过程是怎么来的

微小变化量才是 导数本质

1. 导数本质

换个思路想问题 !!!

1.1 例子I

1.2 例子II

2. 探寻本质, 非记住运算 !!!

推导得出

2.1 x的n次幂推导

推导过程: 你细品

3 1/x, x根号推导

考虑dx增加了多少, 对应结果dy减少/增加了多少

3.1 推导: 1/x !!!

关系: x * 1/x = 1, 当dx增加, 对应dy = d(1/x) 减少

增加量 = 减少量 dx增加的量, 对应 dy减少或增加的量



3.2 推导: x根号

关系: 根号x * 根号x = x, 关系为 d根号x 增加, 结果增加dx

4. sin 推导

4.1 定义

4.2 为什么?

dx的变化, 会改变 dy=f(x)如何的变化, 从这里找dx 和 dy 的关系

4.3 你会推导cos?吗

[Chapter 10] higher order derivatives

高阶导数 higher order derivatives
高阶导数理解

1. 二阶导数 $d^2f / dx^2$ ???

导数: F(x) 某个x值对应的切线斜率: $df / dx$。
你肯定知道, 斜率向上, 是positive相关, 否则是negative。或是斜率越陡, 该值越大。

二阶导数(The second derivative) : $d^2f / dx^2$

二阶导数: 导数的导数, 表示的是斜率的变化 (Change to slope)

• 斜率在增加, 二阶导数就是正数
• 斜率在减少, 二阶导数就是负数

1.1 概念理解

• slope: increase rapidly
• slope: increase slowly
  对应图上的两个值 10, 0.4

1.2 符号notation

2. 例子: 加速度理解二阶导数概念

[Chapter 2] Derivatives

导数 derivatives
导数: 变化率的最佳近似
导数: 函数图上, 过某一点的切线

1. 例子

花点时间思考: 速度是什么? 速度变化, 距离也变化?

• [distance traveled per unit time] 如果你想知道某个时间段, 汽车的速度, 那你需要一个相对变化的运算, 例如知道4s行驶距离, 5s行驶距离, 你就知道当前1s下距离, v = s / t 也就知道当前的速度是多少了

2. 导数

导数: 函数图上过某一点切线的斜率

3. 重要

红框里面的是重点

把2s取代为t, 整个函数的导数:

[Chapter 6] implicit differentiation

implicit differentiation隐函数求导

1. 隐形数曲线 implicit curve

公式: $x^2 + y^2 = 5^2$
不同于, 我们前面学到的, 可以用绘图求解.
该公式不存在 y = f(x)的关系, 所以也不存在取值的微小变化, 会造成函数值的微小变化.
另外, x和y的值也不唯一. x=-3 或 3, y=-4 或 4

只是个等式定式, 相互联系在一起。不是一个函数(y = f(x))。这种叫做隐形数曲线 implicit curve

2. 隐形数导数 implicit differentiation

疑问不是一个函数的话, 怎么求导?

有两个变量的表达式求导: $x^2 + y^2 = 5^2$

3. 相关变化率 related rates

在说明implicit differentiation之前, 先了解一下 related rates的问题。

4. #3进一步解释

$S(x,y) = x^2 + y^2$

针对S求导为 dS = 2x dx + 2y dy

• x微小变化量 dx
• y微小变化量 dy
• x,y 走了微小一步的时候, S的值得变化了多少?
• S的变化 = dS的求导

#3问题 $5^2 = x^2 + y^2$

相当于, 无论x y 怎么变化, 对S都不会变化的. dS = 0

5. $sin(x)y^2 = x$

6. y = ln(x)

我们都知道 $e^x$ 导数 = $e^x$
那 y = ln(x) 的导数为?

y和ln(x) 是两个变量的关系, 不是一个函数的关系 !!!

[Chapter 9] finding average of a continuous variable

面积和斜率间有什么联系
常见问题: 求一个连续函数的平均值 Finding average of a continuous variable 或者你理解成: 求一个曲线的平均值?
概率 常出现
导数、逆导数、积分、斜率

平均数: 所有数据之和 / 个数

1. average?

1.1 如何求解一段连续函数的平均值? 或者理解为求一段曲线的平均值?

[你可能想到的方法是]
将所有值都加起来 / 值得个数 = 平均高度

1.2 recap integral

1.3 继续 #1.1

1.3.1 思考I

1.3.2 思考II 结合上述例子

1.3.3 结论

这个图非常的关键:
图像下面积 和 一个函数的斜率有关?

2. 图像下面积 和 一个函数的斜率有关?

• 上述例子 求平均值 = 原函数(-cos(x)) 在区间取值的变化 / 区间的长度

导数sin(x) 是 原函数-cos(x) 在每个点上的斜率表示

所以 sin(x)的平均值 = 是原函数从x到pi所有切线斜率的平均值

那在该区间内的所有切线平均斜率 = 起点和终点连线的斜率

3. 总结

3.1 通过例子总结

在一段连续曲线上, 求平均数?

非常重要: [a,b]区间内, 导数函数f(x)的积分(曲线下面积) = 原函数F(x)高度差, 去看上面推导 求解曲线平均值的方法

非常重要: 导数函数f(x), 是F(x)的导数表达式, 曲线平均值 = 也就是原函数导数/斜率的平均值

f(x) 是原函数F(x) 在每一个点切线的斜率表示。 f(x) 是 F(x)的导数

3.2 为什么原函数是解决积分问题的关键呢?

3.2.1 有限个数的均值?

1,5,4,2 求这4个数的平均值
$Average = (1 + 5 + 4 + 2) / 2$

3.2.2 求一个连续变量的平均? - !!! 从有限个数推广到连续变量的均值问题

问题: 连续变量, 也就是无穷个数量的话，如何求解平均值?

解决: 转换为求解另一个函数各点切线的平均斜率。只需要考虑, 起点和终点的值, 不需要考虑中间任何一点

积分求解, 该问题大多是在概率中出现的多

[Chapter 5] exponentials

指数函数 exponentials
指数关系
$2^x$ $3^x$ 求导
e: 常数
$e^x$ 的导数?

d($e^x$)/dx = $e^x$

2 = e^ln2 = 9^$\log_9{2}$

1. $2^x$ 求增量关系

1.0 前言

M(t) = 2的t次幂
从t=3到t=4: 增加了8个 = 2的3次幂
从t=4到t=5: 增加了16个 = 2的4次幂

所以你可以简单的得到一个结论是

这个思路是对的, 但也不全对

为什么这么说呢? 是因为, 我们定义的dt = 1, 一整天的数据. 我们考虑的是dt是极小的值

1.1 通过计算找关系

通过推导: 最后得到 右侧最后一个图内容

1.2 dt值越小, 越逼近一个常量

这个常量是什么?

表格: 虽然我们已知该增量模式, 但是是在t=1的情况下, 我们需要dt, 越来越小的情况, 求增率

1.3 $2^8$? 常数项间什么关系?

常数项是三倍的关系

导数= a的t次幂 * 某常数(some constant)

从前面能得到一个结论是: 当时一个完整一天时候, 导数直接为自己; 又或者是和自己成比例

2. e约2.71828...

* e非常独特, f(t) = e的t次幂, 导数还是e的t次幂; 即: f(t)的斜率, 都是它自己

• 例如: t = 1, e, 斜率还是e
• t = 2, e的2次幂, 斜率是e的2次幂

推导公式I

• t -> 3t -> e的3t次幂
• dt变化 -> d(3t) 变化 -> d(e的3t次幂) 变化

推导公式II

tips: 非常重要 rule

无论什么值, 都是这样

y(x) = $2^x$最后推导的过程 !!!