基础语法知识

题目

【异或消除成对元素】

核心用途：状态消除 / 状态压缩

适用场景： 数组中除一个（或少数）元素外，其余元素出现次数满足某种“可抵消性”（如偶数次）， 要求 O(n) 时间 + O(1) 额外空间。

核心性质：

1. a ^ a = 0（相同状态可相互抵消）
2. a ^ 0 = a（零为幺元）
3. 交换律、结合律成立（顺序无关）
4. 所有成对出现的元素最终都会被消掉

典型题：

• 136 只出现一次的数字
• 只出现一次的数字 II / III（次数变化、本质仍是状态统计）

滑动窗口解决“窗口性质单调”的问题； 前缀思想解决“当前状态与历史状态做差”的问题。

核心作用： 快速计算任意区间结果，或将问题转化为「当前状态 vs 历史状态」。

基本形式：

• 任意区间结果 = 两个前缀结果之差 / 之积 / 之比较
• 当前答案往往依赖某个“历史最优 / 历史累计状态”

常见变形：

• 前缀和
• 前缀积
• 前缀最值
• 滚动前缀（状态压缩）

典型题：

• 最大子数组和
• 子数组和为 k
• 区间和 / 区间统计
• 除自身以外数组的乘积

核心前提： 窗口内的“约束条件”具有单调性。

常见单调性表现：

• 窗口变大 → 某个指标只会变大或变小
• 一旦违反条件 → 通过缩小窗口一定可以缓解
• 右扩 + 左缩 能逐步逼近最优解

典型场景：

• 非负数组的区间和
• 去重 / 计数类窗口
• 满足 / 不满足某种限制的最短或最长子数组

非适用情况：

• 窗口内状态不单调（如包含负数）
• 扩大窗口可能让结果变好也可能变差
• 无法判断“缩窗口是否有意义”

当题目限制常数级额外空间时，本质是在问： 状态应该存在哪里？

常见可借用的“存储载体”：

1. 输入数组本身（原地修改 / 原地哈希）
2. 输出数组（若题目不将其计入额外空间）
3. 常数个变量（滚动状态 / 状态压缩）

典型思路：

• 值域有限 → 用索引表达存在性（Index as Hash）
• 前缀 / 后缀状态 → 用变量滚动维护
• 输出数组 → 作为中间结果缓存

典型题：

• 41 缺失的第一个正数（原地哈希）
• 238 除自身以外数组的乘积（输出数组复用）
• 数组中重复 / 缺失元素相关问题

核心思想：用“边界”描述进度，而不是用 visited 描述状态。

适用场景：

1. 按固定顺序遍历矩阵
2. 每一轮都会消耗一整行或一整列
3. 不需要回退访问

核心状态： top / bottom / left / right 表示当前尚未遍历的矩形区域

不变量： 只遍历边界 每遍历一次，边界必然收缩 只要 top <= bottom && left <= right，就仍有合法区域

典型题：

• 螺旋矩阵 I / II
• 矩阵旋转 在这里由于矩阵时方阵导致自己疏忽了，在循环中还是采用的固定的0和n，i，这里由于考虑到边，遍历时应该考虑 层 + 偏移量 ，i不应该时绝对的，而是相对当前边的起点
• 矩阵置零（第一行第一列作标记）

核心思想：通过移动策略让多个指针处于“等价状态”，而不是显式记录状态。

当两个指针的起点、路径或长度不一致时，可以通过： 调整起点 、切换路径 、控制移动节奏 使它们在某一时刻满足可比较性（对齐）， 从而用 O(1) 额外空间 解决问题。

在链表中，这种思想通常体现为： 显式对齐（先消除长度差，再同步前进） 隐式对齐（走到末尾后切换到另一条链表）

是否相交，本质等价于：是否存在一个时刻两个指针指向同一状态； 不相交也可视为在 null 状态相交。

典型场景：

• 链表相交
• 快慢指针（是否成环 / 找入口）
• 删除倒数第 N 个节点
• 有序数组的双指针问题

双指针可用于找到链表等的中点， 典型例题：

• 回文链表，找到中点后反转后面的链表

递归 = 把“大问题的答案”建立在“更小规模同类问题的答案”之上

写递归时，只需要做 3 件事：

• 递归函数的“语义”必须先确定，就是递归函数的返回值代表什么信息；
• 假设“子问题已经正确”，然后如何利用这两个返回值，构造当前层的结果
• 当前层只做“合并结果”

递归返回值 = 你这道题“需要向上汇报什么信息”

举例子： 94 二叉树的中序遍历:递归语义:负责把以 root 为根的子树的中序遍历结果，追加到结果容器中 104 二叉树的最大深度:递归语义:返回「以 root 为根的子树的最大深度」 543 二叉树的直径：要求得到直径，就需要得到当前节点的左子树的最大深度和右子树的最大深度，返回以 root 为根的子树的最大左子树深度加上最大右子树深度 437

递归可以用于处理这种情况：传入两个数组，现在要对短的数组进行处理，可以参考 第4题 执行一次递归来实现处理短的数组，不必要进行判断分支

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
    // 保证 nums1 是较短的数组
    if (nums1.length > nums2.length) {
        return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
    }
}

在动态数据中，维护前 k 大 / 前 k 小 → 堆是最自然的数据结构

贪心算法 = 在每一步，只做「当前看起来最优」的选择， 并且确信： 这个选择不会破坏全局最优解

真正的贪心算法三要素（非常重要） 一个问题能用贪心，必须满足 3 个条件：

1. 局部最优选择性质（最核心） 存在一种选择规则： 当前最优选择，一定存在于某个全局最优解中.现在做的选择，不会让最优解变“更差”

2. 最优子结构 做出一个选择后，剩下的问题仍然是一个“同类型的最优问题” ,这点和 DP 很像，但区别在于： DP：要算所有子问题;贪心：只算一个方向

3. 不需要回退（单调性） 一旦做了选择，就永远不后悔.这通常体现在：指针只向前,区间只扩展,状态只变“更好”.