wenweili / aljabr-1 Goto Github PK

映至 X^(p^m) - a 在 F 的代数闭包中的唯一根 a^(-p^m)

应为 a^(p^(-m))

定理5.7.9, 惯性情形的下一行, \mathfrak{p}=x+y\sqrt{-1}\in\mathbb{Z}[-1] 应为 \mathfrak{p}=x+y\sqrt{-1}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]

193行的 3 = 2 + 1 应为 3 := 2 + 1

我希望探讨在维数良定义性的证明中不区分有限与无限维情形的可能性.
(理想情况下应当同时适用于向量空间与超越扩张的情形.)

(动机: 我认为当前书中使用基数运算的证明有偏离"代数"主线之嫌.)

欲证明任意无关子集 S 的基数不超过任意张成集 B 的基数.
(以下是我的尝试:)

令 B 是一个张成集, S 是一个无关子集. 称三元对 (B', j, S') 为一个代换 , 若其中 B' 为 B 子集, S' 为 S 子集, j : B' \to S' 为一双射, 使得 (S \setminus S') \sqcup B' 无关.

空代换 B' = \emptyset = S' 的存在性由 S 的无关性得出. 又由于相关性只涉及有限多个元素, Zorn 引理适用, 故存在一个极大代换 (B', j, S').

兹断言 S' = S. 否则选取 s \in S \setminus S', 则任意 b \in B \seminus B' 都与 \big( S \setminus (S' \sqcup {s}) \big) \sqcup B' 相关. (不然, 延拓 j(b) := s, 但这与给定代换的极大性矛盾.)

于是此时 \big( S \setminus (S' \sqcup {s}) \big) \sqcup B' 的张成已然包含张成集 B, 故 s 须与之相关, 但这与 (B', j, S') 是一个代换矛盾.

故所断言 S' = S 成立, 即得 |S| = |S'| = |B'| \leq |B|, q.e.d.

(视上下文将 "相关/无关" 解释为 "线性~" 或 "代数~", 后者的 "张成" 应理解为 "诸元素所生成子域的在给定大域中的代数闭")

请问这个论证 (若正确) 是否适宜取代当前书中关于维数良定义性的证明?

(这或许会完全取代拟阵在此书中的角色. 但另一方面, 即使 B 与 S 均为基底, 也不能保证极大代换中的 j 必然是双射, 故也不能保证 (B \setminus B') \sqcup S 是基底, 所以这并不能完全取代换元性质: 他们大约相差一个 Bernstein 定理的距离.)

或者是否可以考虑推广拟阵的定义, 使得这个证明可以抽象地适用于 "广义拟阵"?

（2023.2网络版）p14的 $Y$ 到 $X$ 的所有映射 $X^Y$ 和p338的不动域 $E^H$均有索引。而p115的不动点集 $X^M$ 与二者均不相同，似应该另加索引。

在阅读到 2. 范畴论基础 中的 2.2 函子与自然变换 中 例 2.2.4 “数学中用到的函子说之不尽, 略举数端如下.” 之 4 时遇到了一点小障碍。

4. 对于任意群 G, 定义导出子群 G der 为子集 {xyx −1 y −1 : x,y ∈ G} 生成的正规
   子群. 商群 G/G der 是交换群, 称作 G 的 Abel 化 (参看引理 4.7.3). 对于任意
   群同态 φ : G → H, 从定义可看出 φ(G der ) ⊂ H der , 因此 φ 诱导出交换群的同
   态 ¯ φ : G/G der → H/H der . 容易验证 G 7→ G/G der , φ 7→ ¯ φ 定义了 Abel 化函子
   Grp → Ab. Abel 化函子不是忠实函子.

读到第一句 “子群 G der” 的时候好奇为何有这样的构造，且商群 G/G der 恰好是交换群的特性更让我思考如此特别的子群定有一个名字来描述它。但指引参看的引理 4.7.3 中没有特别提及什么新的名词。后来搜索了好一番才注意到我断句错了，应该是 “导出子群 G der”。

我在论坛和论文检索中注意到，似乎比起 “导出子群” 能找到的更多的说法有 “导群” 和 “换位子群”，后两者的词法不那么容易令人误读。目前还对代数不甚了解，斗胆提议老师，调整一下此处的术语用法会否更好。

在第57页下方

(Δ/β) 态射: ........

右侧的交换图表中 应为φ:L'->L
原书所示将导致L为C中的始对象

感谢李老师开源的书籍和Latex模板，我喜欢这套Latex模板，把这套模板搬运过去单开了一个项目（https://github.com/lichuang/latex-template），以后自己记的Latex笔记都可以用上这套模板，后续也可以根据自己需要去二次定制一下。