program-in-GeoGebra

一行流

前言

突然想通了一些事，切换工具了。

GGB 的函数名称有中英文双版本

求数列的 Sn

f(x)=2*x+1

这步定义函数

sum(f(t),t,0,n)

这步计算累和，ggb 会自动识别 n，并询问是否新建变量。

拓展：求解黎曼和

f(x)=2*x+1

定义函数

RectangleSum(f, 0, 5, 10, 0)

求解 fib 的第 n 项

迭代(a1 + b1, a1, b1, {1, 1}, n)

这里解释一下

在 Python 里，fib 数列是这么写的

def fib():
    a, b = 1, 1
    for _ in range(5):
        a, b = b, a + b
    return a


print(fib())

注意对应关系即可

NestList[{#[[2]], #[[1]] + #[[2]]} &, {1, 1}, 5][[All, 1]]

求任意带系数的线性递推的 n

以 a_n+2 = 2 a_n+1 + a_n, a₁ = a₂ =1 为例

结合 fib 数列的思路，容易写出

迭代(2*b1 + a1, a1, b1, {1, 1}, n)

注意变量顺序

NestList[{#[[2]], #[[1]] + 2 #[[2]]} &, {1, 1}, 5][[All, 1]]

下面的方法是湖南周丙臻老师给出的

方法一

⎡a(n + 1)⎤   ⎡0  1⎤ ⎡  a(n)  ⎤    ⎡0  1⎤  ⎡0    1  ⎤      ⎡a(1)⎤
⎢        ⎥ = ⎢    ⎥ ⎢        ⎥ =  ⎢    ⎥  ⎢        ⎥      ⎢    ⎥
⎣a(n + 2)⎦   ⎣1  n⎦ ⎣a(n + 1)⎦    ⎣1  n⎦  ⎣1  n - 1⎦ ...  ⎣a(2)⎦

于是只要累乘矩阵

   n
┬──────┬
│      │ ⎡0  1⎤
│      │ ⎢    ⎥
│      │ ⎣1  k⎦
│      │
 k = 1

乘积({{0, 1}, {1, k}}, k, 1, 5)

方法二

迭代((y(k), x(k) + z(k) y(k), z(k) + 1), k, {(1, 1, 1)}, 5)

把初始 (1,1,1) 看作点 k，用 x(k) ,y(k) , z(k) 提取并迭代

求解 taylor 展开

TaylorSeries(sin(x), 0, 5)

Series[Sin[x], {x, 0, 5}]

表示 n 进制

ToBase(99,2)

返回值是 Text

IntegerDigits[99, 2]

绘制累和函数

sum(abs(x - t), t, 0, 5)

Plot[Sum[Abs[x - t], {t, 0, 5}], {x, -5, 5}]

绘制撞球摆

To Be Continued...

只用分支的方阵画法

To Be Continued...

变系数递推

a₁=a₂=1, a_n=n a_n-1 +a_n-2

对于这种迭代公式变化的，就不能用迭代列表轻松地解决。

下面分步处理

l2= {1,1}

初始列表

由于 GGB 不支持负数索引，所以直接取第长度个元素

元素(l2, 长度(l2))

这样提取了最后一个元素

那怎么处理 n 呢？注意到填充第 n 项前，列表长度 n-1

故

元素(l2, 长度(l2)) (长度(l2) + 1)

这样就解决了 n a_n-1 这项

另一项是常系数

元素(l2, 长度(l2) - 1)

加起来就得到了 append 的对象

元素(l2, 长度(l2)) (长度(l2) + 1) + 元素(l2, 长度(l2) - 1))

把追加/append 写进去

追加(l2, 元素(l2, 长度(l2)) (长度(l2) + 1) + 元素(l2, 长度(l2) - 1))

这就是一个关于 l2 的函数，可以用迭代功能了。

Note

直接写

迭代(追加(l2, 元素(l2, 长度(l2)) (长度(l2) + 1) + 元素(最后元素(l2, 2), 1)), l2, {1, 1}, 5)

会报错，因为 GGB 会把 l2 解析为数字。

所以要套一层 {}

迭代(追加(l2, 元素(l2, 长度(l2)) (长度(l2) + 1) + 元素(l2, 长度(l2) - 1)), l2, {{1, 1}}, 5)

对照一下 MMA 的输出

RecurrenceTable[{a[n] == n*a[n - 1] + a[n - 2], a[1] == 1, a[2] == 1}, a[n], {n, 1, 10}]

{1, 1, 4, 17, 89, 551, 3946, 32119, 293017, 2962289}

以及 Mathematica 的代码

Nest[Append[#[[-2]] + #[[-1]]*(1 + Length@#)][#] &, {1, 1}, 5]

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