生成的都是n次多项式形式
n次插值条件:n+1个不重合节点
Ln(x)=Σyk*lk(x) 大写的L指的是拉格朗日插值多项式 小写的l指的是插值基函数
基函数:
lk(x)去掉本身零点作为分子,xk代入本身作为分母
当x = xk时,lk(x) = 1,在其他点处值为0
缺点:每次增加新的节点都需要重新计算基函数
拉格朗日余项
n = 1 两个点 一次插值(线性插值)
直接求直线方程比较快
n = 2 三个点 二次插值(抛物线插值)
举例:当 n = 1 时,这时候有两个点
一次插值多项式如下
这个例题说明求解插值函数可以先求误差,反推回去,还要观察函数形式,需要n+1阶导为定值
注意:高次插值通常优于低次插值, 高次插值的精度不一定高
Nn(x)表达形式如下
差商(均差)
例题
n+1个节点 2n+2个条件 P(x)是最高次为2n+1的多项式
一般考两点三次
余项未看
就考10分,每步骤2分,大题,把雨课堂的12 13 14搞定就行
解题步骤
(1)线性化
(2)变量代换
(3)制表
(4)计算
(5)反代换
例子
等距节点 插值型
https://zhuanlan.zhihu.com/p/105456204?utm_source=wechat_session
等距节点 插值型
将区间n等分,每个都看做一个小的梯形,横轴为高,用梯形面积公式求解并求和
每两个点求一次梯形面积,所以头尾只用一次,中间的点用两次
每个辛普森公式可以计算两个小区间的面积(使用三个节点)
n个辛普森公式可以计算2n个小区间的面积(使用2n+1个节点)
所以需要奇数个点,偶数个小区间才可以使用复合辛普森公式
1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1
1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1
1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1
上面这张图片右侧仅仅只是单个小区间的误差,还需要乘以n,得到下面这张图片中的结果
梯形变步长计算思路:首先选定初值n和h,计算出Tn,然后步长折半,原本的值取一半,加上现有的步长(或者之前步长的一半)乘以多出来的节点函数值之和
以上均为等距节点
只会涉及到定义,非等距节点
将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解,得到的公式具有2n+1 次代数精度
总结:关于代数精度,讲到n+1个等距节点时,代数精度为n;n+1个非等距节点,此时节点的横坐标都未知,共计2n+2个未知数,所以代数精度为2n+1
第五章和第六章仅仅针对于唯一解的情形
直接法:没有截断误差,不考虑舍入误差的话,得到的是精确解
下三角元素消为0,然后先算xn,再回代算xn-1直到x1,不需要背公式
要求:顺序主子式均不为0 <=> 主元均不为0
主元不能太小
列主元素法:考大题浪费,估计考选择填空,问到第几步时应该交换哪一行和哪一行,交换原则:找到主元值最大的进行交换
行变换相当于左乘初等矩阵
A=LU U是上三角矩阵 L是对角线元素为1的下三角矩阵
要求:整个操作中不进行换行操作,分解唯一存在的条件是顺序主子式均不为0 可以参考书本课后习题第11题
Ax=b ==> LUx=b 令Ux=y 则Ly=b 这样做是因为LU都是三角矩阵,计算x和y都只需进行回代的操作
LU的求解过程
第一步:L的主对角线元素全部为1
第二步:U的第一行为A的第一行
第三步:U一行,L一列
示例:
1 2 3 1 0 0 1 2 3
2 5 2 = 2 1 0 * 0 1 -4
3 1 5 3 5 -1 0 0 -24
分解之后的LU互为转置关系 此时的L并非主对角线元素为1
平方根法是数值稳定的,LU分解不一定
要求:A对称且正定
要求:A为三对角矩阵
生成的L是下二对角矩阵,U是对角线元素为1的上二对角矩阵
向量范数:1范数 2范数 ∞范数 p范数
矩阵范数:1范数 2范数 ∞范数
每组新解迭代
Ax=b ==> x=Bx+f
迭代格式记得写(k)和(k+1)
每个新解迭代
不一定收敛,不一定优于雅可比
收敛的充要条件:B的谱半径ρ(B)< 1
谱半径越小收敛速度越快
判别高斯赛德尔的收敛性坑比较多,移项,逆矩阵,LU的负号
若线性方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵,则解该方程组的Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。
针对于高斯赛德尔的w加速算法
收敛条件同上
f(x)=0 --> x=φ(x)
求单根时至少二阶收敛,求重根时一阶收敛
用前面的点处的切线在下一个点处的取值代替下一个点
用后面的点处的切线在下一个点处的取值代替下一个点
将初值问题的第一个导数方程两边积分,右侧用梯形公式代替,即得出梯形方法
运用梯形方法,右端的y i+1用欧拉法计算
与K值有关,K有多少个代表着有K阶精度
有主项,o(h)(p+2)
无主项,o(h)(p+1)
2阶不一定会比1阶来得更好,毕竟只是局部截断误差
就是类似于数列,求出通项公式,再求极限状态
稳定性就是两个圆在平面直角坐标系的分布情况
最常用的为四级四阶经典龙格-库塔法