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数值分析

第一章

第二章 插值法

生成的都是n次多项式形式

（1）拉格朗日插值

n次插值条件：n+1个不重合节点

Ln(x)=Σyk*lk(x) 大写的L指的是拉格朗日插值多项式 小写的l指的是插值基函数

基函数：lk(x)去掉本身零点作为分子，xk代入本身作为分母

当x = xk时，lk(x) = 1，在其他点处值为0

缺点：每次增加新的节点都需要重新计算基函数

拉格朗日余项

n = 1 两个点 一次插值（线性插值） 直接求直线方程比较快

n = 2 三个点 二次插值（抛物线插值）

举例：当 n = 1 时，这时候有两个点

一次插值多项式如下

这个例题说明求解插值函数可以先求误差，反推回去，还要观察函数形式，需要n+1阶导为定值

注意：高次插值通常优于低次插值， 高次插值的精度不一定高

（2）牛顿插值

Nn（x）表达形式如下

差商（均差）

例题

待补充 1牛顿插值差分形式老师上课讲了吗？

（3）埃尔米特插值

n+1个节点 2n+2个条件 P（x）是最高次为2n+1的多项式

一般考两点三次

余项未看

第三章

（1）最小二乘法

就考10分，每步骤2分，大题，把雨课堂的12 13 14搞定就行

解题步骤

（1）线性化

（2）变量代换

（3）制表

（4）计算

（5）反代换

例子

第四章 数值积分

等距节点 插值型

（1）代数精度(必考)

（2）机械求积公式

（3）矩形公式

（4）梯形公式T n=1 m=1

（5）辛普森公式S n=2 m=3

https://zhuanlan.zhihu.com/p/105456204?utm_source=wechat_session

（6）牛顿-科特斯公式C n=4 m=5 定理3：n为偶数时，m=n+1

等距节点 插值型

（7）插值型求积公式 至少具有n次代数精度

（8）复合梯形公式T

将区间n等分，每个都看做一个小的梯形，横轴为高，用梯形面积公式求解并求和

每两个点求一次梯形面积，所以头尾只用一次，中间的点用两次

（9）复合辛普森公式T

每个辛普森公式可以计算两个小区间的面积（使用三个节点）

n个辛普森公式可以计算2n个小区间的面积（使用2n+1个节点）

所以需要奇数个点，偶数个小区间才可以使用复合辛普森公式

1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1

1 4 1   1 4 1   1 4 1   1 4 1

1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1

上面这张图片右侧仅仅只是单个小区间的误差，还需要乘以n，得到下面这张图片中的结果

（10）龙贝格求积公式

梯形变步长计算思路：首先选定初值n和h，计算出Tn，然后步长折半，原本的值取一半，加上现有的步长（或者之前步长的一半）乘以多出来的节点函数值之和

以上均为等距节点

（11）高斯型积分

只会涉及到定义，非等距节点

将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度

总结：关于代数精度，讲到n+1个等距节点时，代数精度为n；n+1个非等距节点，此时节点的横坐标都未知，共计2n+2个未知数，所以代数精度为2n+1

第五章 解线性方程组的直接方法（直接法）

第五章和第六章仅仅针对于唯一解的情形

直接法：没有截断误差，不考虑舍入误差的话，得到的是精确解

（1）高斯消元法 待定列主元消去法

下三角元素消为0，然后先算xn，再回代算xn-1直到x1，不需要背公式

要求：顺序主子式均不为0 <=> 主元均不为0

  主元不能太小

列主元素法：考大题浪费，估计考选择填空，问到第几步时应该交换哪一行和哪一行，交换原则：找到主元值最大的进行交换

行变换相当于左乘初等矩阵

（2）LU分解（杜利特尔分解）

A=LU U是上三角矩阵 L是对角线元素为1的下三角矩阵

要求：整个操作中不进行换行操作，分解唯一存在的条件是顺序主子式均不为0 可以参考书本课后习题第11题

Ax=b ==> LUx=b 令Ux=y 则Ly=b 这样做是因为LU都是三角矩阵，计算x和y都只需进行回代的操作

LU的求解过程

第一步：L的主对角线元素全部为1

第二步：U的第一行为A的第一行

第三步：U一行，L一列

示例：

1 2 3 1 0 0 1 2 3

2 5 2 = 2 1 0 * 0 1 -4

3 1 5 3 5 -1 0 0 -24

（3）平方根法（楚列斯基分解）

分解之后的LU互为转置关系 此时的L并非主对角线元素为1

平方根法是数值稳定的，LU分解不一定

要求：A对称且正定

（4）追赶法

要求：A为三对角矩阵

生成的L是下二对角矩阵，U是对角线元素为1的上二对角矩阵

（5）范数 向量范数 矩阵范数 谱半径

向量范数：1范数 2范数 ∞范数 p范数

矩阵范数：1范数 2范数 ∞范数

第六章 解线性方程组的迭代法（迭代法）

（1）雅可比迭代法

每组新解迭代

Ax=b ==> x=Bx+f

迭代格式记得写（k）和（k+1）

（2）高斯赛德尔迭代法

每个新解迭代

不一定收敛，不一定优于雅可比

（3） 分解示例

（4） 收敛性判别

收敛的充要条件：B的谱半径ρ（B）< 1

谱半径越小收敛速度越快

判别高斯赛德尔的收敛性坑比较多，移项，逆矩阵，LU的负号

（5） 严格对角占优矩阵

若线性方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解该方程组的Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。

（6） 加速法 SOR 逐次超松弛法

针对于高斯赛德尔的w加速算法

收敛条件同上

第七章 非线性方程与方程组的数值解法

（1）二分法误差估计

（2）不动点迭代法

f(x)=0 --> x=φ（x）

（3）牛顿迭代法（切线法）

求单根时至少二阶收敛，求重根时一阶收敛

第九章 常微分方程初值问题数值解法

（1）欧拉法

用前面的点处的切线在下一个点处的取值代替下一个点

（2）欧拉后退法

用后面的点处的切线在下一个点处的取值代替下一个点

（3）梯形方法

将初值问题的第一个导数方程两边积分，右侧用梯形公式代替，即得出梯形方法

（4）欧拉改进法

运用梯形方法，右端的y i+1用欧拉法计算

（5）龙格-库塔

与K值有关，K有多少个代表着有K阶精度

（6）局部截断误差

有主项，o（h）（p+2）

无主项，o（h）（p+1）

2阶不一定会比1阶来得更好，毕竟只是局部截断误差

（7）收敛性与稳定性

就是类似于数列，求出通项公式，再求极限状态

稳定性就是两个圆在平面直角坐标系的分布情况

最常用的为四级四阶经典龙格-库塔法